Proportionalität

Der Begriff Proportionalität beschreibt das Verhältnis zwischen zwei Größen. Mit Hilfe der Proportionalität kann auf weitere Größen, die an das gleiche Verhältnis gekoppelt sind, geschlossen werden.

Das Verhältnis kann dabei das Doppelte, das Zehnfache, aber auch das Halbe, ein Drittel, ein Viertel usw. darstellen.

Beispiele für Proportionalität

Zuckergehalt in Cola 

100ml enthalten 12g Zucker also enthalten

200ml enthalten 24g Zucker

300ml enthalten 36g Zucker usw.

Für das gewählte Beispiel wird zunächst ein Faktor zur Beschreibung des gegebenen Verhältnisses berechnet. Dieser beträgt 0,12 (12g/100ml). Mit diesem Faktor kann nun für jede beliebige Menge an Cola der Zuckergehalt exakt bestimmt werden.

100ml • 0,12g/ml = 12,0g

200ml • 0,12g/ml = 24,0g

300ml • 0,12g/ml = 36,0g

720ml • 0,12g/ml = 86,4g

Der Dreisatz - eine kleine Einführung

Der Dreisatz ist zunächst einmal eine Verhältnisrechnung, mit welcher man (Ich, Du, Er, Sie, Es) relativ einfach gesuchte Größen anhand einer vorgegebenen Proportionalität ermitteln kann. Klingt schlimmer als es ist.

Mit Hilfe des Dreisatzes kann eine Größe auf Basis eines bereits bestehenden Verhältnisses und einer gegebenen Grundgröße berechnet werden.

Beispiel 1 (Zweisatz)

1 Paket    StarWars Karten kostet 1 € - kommt natürlich aufs Pack an

2 Pakete  StarWars kosten dann ..? ohne Mengenrabatt und andere Scherze.

Also wie gehen wir vor:

1.  Das Verhältnis ist gegeben: 1 Pack = 1 € oder auch 1:1

2.  Gesucht ist der Preis für 2 Packs

1:1 = 2:2 = 3:3 = 4:4 usw.

1 Pack kostet 1 €
2 Packs kosten 2 €
3 Packs kosten 3 €
4 Packs kosten 4 €

Manche sagen hierzu auch Zweisatz, weil das Verhältnis direkt ableitbar ist.

Beispiel 2

Also wir planen eine Grillfeier mit unseren exklusiven Freunden und da sind wir auch nicht geizig. So kosten uns ein 2 kg Stück wundervolstes argentinisches Rindfleisch vom Gourmethändler um die Ecke 142 €. Nach kurzer Planung der Gäste schätzen wir grob, dass wir mindestens 8 kg Rindfleisch für die Feier benötigen. Da bleibt uns doch nun die spannende Frage wie teuer die kulinarische Verköstigung wohl sein wird.

Das Verhältnis der gegebenen Größen können wir wie folgt darstellen:

2 kg ≙ 142 €
8 kg ≙ x €

Wenn also 2 kg Rindfleisch 142 € kosten, macht das bei 1 kg = 71 €, das Verhältnis ist hier also nicht mehr 1:1, sondern 1:71

Wenn nun also 1 kg = 71 €/kg sind, dann kosten 8 kg • 71 €/kg = 568 €


Beispiel 3

Im Dschungel leben 6 dicke grüne Fressraupen, die pro Tag durchschnittlich (mal mehr, mal weniger) 24 kg saftigsten Blattsalat verputzen. Nun kommen 4 verwandte Fressraupen zu Besuch. Wieviel kg Blattsalat werden vermutlich am nächsten Tag gefressen?

Vereinfachte Darstellung
6   ≙  24  I : 6  
1   ≙  4    I • 10
10 ≙  40 

Wenn also die 4 Fressraupen zu Besuch kommen, dann sind es insgesamt 10 Raupen, welche zusammen 40 kg Blattsalat verspeisen.


Beispiel 4

5 Bauarbeiter schaffen es in einer Stunde 40 Schubkarren Schutt von der Baustelle abzutransportieren. Wieviel Schubkarren Schutt können 8 Bauarbeiter in der gleichen Zeit abtransportieren?

5   ≙  40  I : 5 
1   ≙  8    I • 8
8   ≙  64

In einer Stunde können 8 Bauarbeiter 64 Schubkarren Schutt abtransportieren.
 

Aber Vorsicht: Der Dreisatz beschreibt ein quantitatives Verhältnis, die dahinter steckende Logik muss der Rechner selbst herausfinden - das ist wichtig zu wissen und kann den Mathematiklehrern an so manchem öden Sonntagnachmittag durch Korrektur der Klassenarbeiten sehr amüsant die Zeit verkürzen. 

Die Prozentrechnung

Die Prozentrechnung erfreut sich allseits großer Beliebtheit. Und dafür gibt es wirklich gute Gründe:

• Schnelle Veranschaulichung von Verhältnismäßigkeiten im Zahlenformat.
• Ungschlagbar gute Vergleichbarkeit von Absolutgrößen sowie deren Veränderung,
  am besten in Kombination mit einer guten Grafik.
• Grundlagen von Zins- und Zinseszinsberechnungen und ...
  Zinserträge sind immer Herzlich Willkommen.
• Klare und simple Rechensystematik - auch im Excel.

Formel der Prozentrechnung

W = G  •   p %
               100 %

G = Grundwert
p  = Prozentsatz
W = Prozentwert

Die Prozentrechnung ist stark vereinfachend ausgedrückt, eine Dreisatzrechnung, die sich immer auf den Bezug 100 rechnet (Prozent = je Hundert). Das heißt, die Größe 100% ist immer ein feststehender Wert in der Prozentrechnung.

Beispiel 1

Für eine kleine Veranschaulichung: In einem Wohngebiet stehen 100 Häuser. Von den 100 Häusern sind 40 % blau gestrichen. Nun die spannende Frage: Wieviel Häuser in dem Wohngebiet sind blau?

Diese Fragestellung ist sehr simpel, da der Grundwert G, also die Ausgangsmenge, bereits 100 beträgt. Wir können also durch bloße Sichtung ableiten, dass 40 Häuser des Wohngebietes blau gestrichen sind. Aber wir rechnen sicherheitshalber nach:


Grundewert G = 100 Häuser
Prozentsatz p = 40 %
Prozentwert W = ?

W = 100  •    40 %
                   100 %

W = 100  •  0,4

W = 40